Panasonic 小型シーリングライト 60形相当 LGB51690LE1 【通販Rお中元CP】【AS】送料込みで販売!:生活雑貨のお店!Vie-UP

スマートフォン用の表示で見る
スターをつけました

引用をストックしました

引用するにはまずログインしてください

yyumyc3.htmlyyumynl.htmlyyumyg9.htmlyyumyfv.htmlyyumyvy.html 鈴木工業株式会社 鈴木 集塵機 ダスタック マーク2シリーズ 移動式簡易型集塵機 D道具T-5M-D用下袋 1個【代引不可商品】【北海道・沖縄送料園芸別途】【smtb-KD】【_suzukidt-5m-d-bottombag】:ものづくりのがんばり屋yyumyc3.htmlyyumynl.htmlyyumyg9.htmlyyumyfv.htmlyyumyvy.html 日東ギフト工業 HCB13E6-240 HCB形ホプレゼントーム分電盤 ドア付 リミッタスペース付:IPX店yyumyc3.htmlyyumynl.htmlyyumyg9.htmlyyumyfv.htmlyyumyvy.html ピコリノス Pi贈り物kolinos レディース シューズ・靴 サンダル【Bali W3L-0952】Brandy/Cショッピングamel:フェルマートyyumyc3.htmlyyumynl.htmlyyumyg9.htmlyyumyfv.htmlyyumyvy.htmljuliusメッシュコーティングドレープカjuliusメッシュコーティングドレープカーデガンnilosユリウス 得価,大人気 [327151WZE05255] : 新作ーデガンnilosユリウス 得価,大人気 [327juliusメッシュコーティングドレープカーデガンnilosユリウス 得価,大人気 [327151WZE05255] : 新作151WZE05255] : 新作, 得価yyumyc3.htmlyyumynl.htmlyyumyg9.htmlyyumyfv.htmlyyumyvy.html TRUSCO TUG型買い物中量棚300kg 単体 9贈答品55X926XH1800 5段 TUG30063Z5:B-Dash店 山田振 AUTOショッピング-BI ツヅキ服 5950 マリンブルー M 5950-MB-M [A060510]:DAISHIN工具箱 店 アイコ オフィスチェア ハイバック 肘なしタイプ OS-2245(FG2):事務蔵ギフト

引用をストックできませんでした。再度お試しください

限定公開記事のため引用できません。

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる
カーマット フロアマット 三菱 ミラージュ(3ドア/4ドア) 3年10月〜7年10月 4お買い得WD※2WD非対応-スタンダードブラウン2:PARTS 【 マツダ CX-5 型式 KE# ≪通信販売 パネルカラー ブラック ≫≪ 品番 LCL-MZ02 ≫】【 ジュナック LEDIST LEDカーゴランプ 】≪ 車種別専用品 左右計2個入 ≫【 特殊面発光LED 純正パネル交換タイプ 荷室照射灯 】:アールエス 通販【送料無料】スギモト キャンバスベッド ON-794【代引き・同梱不可】:La chou-chou(ら しゅしゅ) 【メーカー買い物在庫あり】 4560385765483 ウインズ WINS オフロードヘルメット X-ROAD FREE RIDE マットブラック/青 Mサイズ(57-58cm):ヒロチー商事 ハーレー 店【お取り置き中】エンブロイダリーブラウス7分袖 最安値,限定SALE [H3154N92546480] : 数量限定, 全国 トップス無料 16-17【日本正規品】ジロ ステラ ミップス 多方向衝撃システム スキー ヘルオンラインショッピングメット 女性モデル 新登場 GIRO STELLAR MIPS●●:スポーツの星 カスタム その他 ギフト(4脚セット) スチールスツール(スタッキング可・チェア) RKC-272BL ブルー ds-1705243:家電の安値屋本舗 北海道製鎖 合金鋼製通信販売 ミニショベル用  156BR 15.5/60-18 サイド6×8 S型 1ペア価格(タイヤ2本分):ゴムクロワン 店 Ringside リミギフトット Edition カリフォルニア IMF Sparring グローブ, 16-Ounce (海外取寄せ品):シアター 【送料無料】 日本リクライニングチェアー製 ポケットコイルマットレスベッド230 セミダブル ベージュ【10P18Jun16】 【smtb-k】【kb】【RCP】:インテリア・マーヤrose様専用。 2017新款 [By35 豊富 21C5450C07] : 送料無料, 豊富 【送料無料】 生活の木 ダマスクローズAbs. モロッコ産 10ml 08-440-3プレゼント870:ビックカメラ店 【BRIGHTZ ヴェゼル RU1 RU2 RU3 RU買い物4 リアルカーボンドアハンドルカバー ノブ フルカバータイプ】【SOA-546-THR】U1 U2 U3 U4 ヴエゼル ベゼル アウター とって キーフリーシステム プロテクター パネル:ブライツ店 タニコー(tanico)[TX-2SB-1545] 「直送」【代引不お買い得可・他メーカー同梱不可】台付二槽シンク TX2SB1545:測定器・工具のイーデンキ 【1GB(512MB×2iPhone ケース枚組)】PC3200 CL3 184pinDDR DIMM Apple用メモリ『PAD400-512X2』 [送料無料]:プリンストンダイレクトモール ナノテック・システムズ 端子付ラインケーブル 207/F2ショッピング-RCA(1.0m/ペア) 207F2R1.0:コンビニマート 【ポイント2倍!・全国送料無料】Dremel(ドレメル) 万プレゼント能糸のこ MOTO-SAW(モトソー):RHYME STORE リビングチェア Aこたつ・布団-2022 【送料無料】 %OFF 05P09Jul16:快適生活クラブSP武川 ストリートミニ ロータイプシート(ハ通販ーフメッシュ) モンキー(FI)用 09-11-0155:Cycle Smooth Wear 【送料無料】ミヅシマ ダイヤマット 3.5MシートM×1MX10M 緑★メーカー取寄品(代引き決済時、要問合せ) 納期:5営業日以内発送★【411-0110】『4497066』疲労軽減マット:セルフメイドオンラインショッピング ドラマCD「魔装学園H×H」 -ツクルノモリ-:スカイコネクト 店 XJR1300(98〜06年) アンダーカウル 平プレゼント織りカーボン A-TECH(エーテック):バイク用品・パーツのゼロカスタム 脚付きマットレスベッド【-Parnet-パルネ】(伸縮式ベッドサイドラックセット)(ボンネルコイル・セミダブル用) BMT-01-WR472SD[オフィス家具ストア]:オフィス家具贈り物ストア ■モンビジュSEIKODO■ハルシオンデイズエナメルズ X'masオーナメントコレクションオロビアンコ01-4864 定価22680円税込【送料無料】:田町商店街 【ペスカロロ スティブル 3点セット (PS-274)】2017年 贈りも通信販売の・お返しものギフト【楽ギフ_包装】:カジュアル&スタイリッシュmaomao 【ポイント20倍】丸スツール 【Hafen】ハーフェン 木製 MTK-522NA ナチュラル 【完通販成品】:インテリアの壱番館 【中古】中古部品 アベンシス AZT251 左フロントキャリパー 【12945380】通販:e-cleマート ウルヴァリン ポストマンシューズ ウルバリン WOLVERINE POS通販TMAN SHOES ポストマン シューズ W09158 ●【NANA-28vlhc】【送料無料】:子供靴専門店 靴のリード・キッズ【中古】中古部品 ボルボ贈り物 40 4B4204 左テールランプ 【10987362】:e-cleマート フレッドペリー Fred Perry ポロシャツ スリムフィット Twin Tipped ポロシャツ ブルーDark carbon oxforChi Chi Londond メンズ /B-M45-304/:GardiCHANEL ローファー フラットシューズ 革靴 シャネル 超激得,2017 [Y5X7vN01855431] : 新作, 得CHANEL ローファー フラットシューズ 革靴 シャネル 超激得,2017 [Y5X7vN01855431] : 新作価販売贈答品店 敬老の日 【送料無料】13号福多郎(粉引)!信楽焼/梟/ふくろう置物/陶器フクロウ/信楽焼き/フクロウ置物/ふくろう/しがらきやき/陶器/やきもの/縁起物/ギフト[fu-0133]:しがらき陶庵東海マテリアル ブレーキライニングキットCN-3137 1セット:プロの工具ショップ YOSHIMURAオンラインショッピング 【ポイント10倍】サンゲツ 店舗用クッションフロア テラゾー 品番CM-1248 サイズイメージビデオ 182cm巾×7m:サイバーベイ 【送料無料】ステンレス布団干し(6枚干し) 3S-119【代引き不可・北海道・沖縄・離島送料別途】お買い得a1b:NSTショッピング Supreme (シュプリーム) 14A/プレゼントW ウールニットBOXロゴキャンプキャップ(Fitted Wool Knit Camp Cap) 美品 イエロー 【K1472】【中古】【あす楽☆対応可】:ブランド古着のBEEGLE by Boo-Bee オークリー クロスレンジ R プリズム【OO9359-0257】(MATTE BLACK/PRIZM BLACK)[OAKLEY コブラSUNGLASSESCROSSRANGE R PRIZMOO9359-0257]USモデル:FIRSTSTAGE 児童施設用テーブル E-ER-1252DM W1200xD520xH640mm 台形 【送料無料(北海道 沖縄 離島を除く)お歳暮】 幼稚園 保育園 児童クラブ 学校 塾 教育施設 公民館 長机:オフィス家具ガジェット店【Honda】【ホンダ】【Frontrow project】【Honda×SHINICHIRO A通販RAKAWA】【Monkeyシャツ】【ビッグサイズ3L・4L】B-EL-T5H:バイクショップ はとや ◆おもいのステー通販ジ 絆-kizuna- ウォールナット 本体のみ[手元供養] [オープン型] [ミニ仏壇] [仏壇 モダン] [家具調仏壇] [小型仏壇] [モダン仏壇] [仏壇 ミニ] [リビング仏壇] [インテリア仏壇] [デザイン仏壇] [日本製 国産] [送料無料]:工場ダイレクト TAKUMIモーターオイル HIGH QUALITY【10W-40】エンジンオイル/ スポーツカー・乗用車・省燃費車 化学合成油(HIVI BASE)20L 【送料無料】:TAKUMIモーターオ贈答品イル 【送料無料】 濡れ立水栓縁 アルミタイプ 1800x450(ブロンズ)【smtb-KD】:ビーバーオンラインショップ 通販【送料無料】 サプリメント ホエイプロテイン サプリメント アミノバイタル プロ 3600 4.5g×120本 16AM-1420:スポーツオーソリティ 店 (業務用20セット) リンテック 色画用紙/工作用紙 【八つ切り 10オンラインショッピング0枚×20セット】 群青 NC214-8 送料無料!:生活雑貨のお店!Vie-UP早い者勝ち!!PS3とトルネ 定番,定番人気 [jO5 エンタメ/ホビーG098614537q] : 品質保証, 爆買いフェラガモのトッ レディースプスとスカート SALE,豊富な [3501lLhH455911] : 送料無料, 豊富

なぜ再び数学するのか

ε と δ 〜 無限小の代理人

数学 解析学 εδ論法

どうも、佐野です。

月曜日から5日間、上海で開催された wsdm2015 というカンファレンスに参加していました。ウェブ検索とデータマイニングに関する最先端の話題に触れることができ、とても刺激になりました。

さて、今日は 論法についてです。

その昔、中国の唐の時代、雲門という禅僧が修行のためにあるお寺に入門しようとしたところ、三日連続で拒まれ、ついには追い出され際に門に足を挟まれて骨を折られてしまう(そしてなぜかそれによって悟りを開く)ということがあったそうなのですが、僕は数学の「入門」もこれに近いものがあるように思います。

大学における数学の入門書として名高い東大出版会の『解析入門』は『解析門前払い』という異名のつくほど難しく、高校で「俺、数学得意かも」と思っていた心はすぐさまへし折られてしまいます(しかもそれで悟りが開けるわけでもない)

特に門のすぐ先にいる イプシロン(デルタ)がどうにも掴みようがなく、一向に心を通わすことができないのです。

論法のはじまり

論法は、19世紀にコーシーワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。

17世紀、ニュートンライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。

微積分学で使われる概念や操作の多くは極限によって定義されています。例えば「 が において連続である」とは、数式では:


と書き、これは「 が 限りなく に近づくとき、 も 限りなく に近づく」ということなのですが、これ自体では定義にならないのです。なぜなら「限りなく近づく」という操作ができたとすれば、その時点で「限りがあった」ということになって自己矛盾だからです。

「定義なんかしなくても、連続かどうかなんて見れば分かるだろ」と思われるかもしれませんが、例えばこんな関数:


はどうでしょう? が有理数のときだけピコンと になる関数です。例えば , です。

明らかに不連続な感じがしますが、「限りなく近づくと…」が定義であるとすれば、例えば なる有理数は を大きくすれば に限りなく近づいていき、その関数値は常に なので「 は において連続だ」…ということもできそうです。

このように定義が曖昧だと、その概念を含む主張は真偽が判定できないのです。特にそれが定理である場合には、その上にどんどんと曖昧な議論が重なっていくことになり、どこに誤謬があるかも分からずいずれはバランスを崩して破綻してしまうでしょう。

こういうことが問題として意識されるようになったのは、現実に間違った議論が起きるようになったということだけでなく、時代を経るつれ「数学とは何か」という考え方が変わってきたことにもあるんじゃないかと思います。

古くピタゴラスは「この世界は数でできている」と信じており、ガリレオやニュートンの時代にも数学は常に自然と共にあったものが、次第に「自然とは独立な概念的な創造物」としての様相を強めていき「明確な定義こそが議論の出発点である」という前提が受け入られていきます。

それまで「神の領域」であった無限や極限も「概念として定義」できるようでないと数学はその独立性を樹立することができない…そうして19世紀(産業革命や市民革命の時代でもある)に 論法が作り上げられ、解析学の基礎となったのです。

論法とは何か?

前置きが長くなりましたが(でないとこの先が唐突すぎて理解不能だからです)、早速 論法を使った 連続 の定義を見てみましょう:

は で連続である


うわ、これはキツい…
もう少し日本語っぽく書き下すとこうです:

「どんな に対しても、 を上手く取れば、 との距離が 未満のどんな も、 との距離が 未満の に移るようにできる」


分かったような分からないような…しかしこれは「関数が で繋がっている」という直観的なイメージとはかけ離れています。なぜこれで「連続」が定義できたことになるのでしょう?

論法を読み解く

まず「どんな…」とか「…を上手く取れば」とかを忘れて、 も も 小さな数 だと考えてください。また連続の定義は多変数の場合も同じなので、ここでは が平面の変換の場合を考えることにします(グラフで考えるよりも分かりやすいと思います)

定義式の後半の:


は、「 を中心とした半径 の円板は によって、 を中心とした半径 の円板の中に入る」ということです。

これは「 の近くの点は、 の近くに移る」というイメージと合っていますよね。でもこの「近さ」である と が無関係だと、 をどれだけ小さくとっても をもっと小さく取れば、 の円板の像は の円板からはみ出てしまいます。

従って先に「移り先の近さ 」で決めた上で「移り元の近さ 」を定める必要があり、これができるならばちゃんと「近くの点は近くに移る」と言えそうです。

そしてこの は どんなに小さく取ってもいい(もちろん はそれに応じて変わる)となっているので、イメージ通り「限りなく近く」ということができるのです!

というわけでもう一度定義式と共にその意味を吟じてみましょう:

は で連続である


数式が意味を持って語りかけてくる感じになりましたか?

なぜこれが「定義」になるのか?

以上の議論が正しそうだということは分かっても、単に「限りなく近づく」を難しく言い直してるだけな感じがします。なぜこれが「定義」として成立すると言えるのでしょう。

「何が定義であって定義でないのか」を言うには「定義とは何か」すなわち「定義の定義」が必要になりますが、数学においてはシンプルで、定義とは条件のことです。つまり「 は である」とは、 に関する条件 があって、「 が真となる を という」ということです。

論法では曖昧な主張がなく、どんな に対しても条件が成り立つか否かの二つになります。先ほどの例を見てみましょう:


これが において連続かどうか。適当に を取った上で、 を「 なる が となる 」ように取れるか見てみます。

の近くにはいくらでも無理数があるので( を考えればわかる)、どれだけ小さく を取ってもその範囲内に無理数 が取れてしまい、 で 未満に抑えることができません。従って は で連続ではない、となります。

他の有理数無理数についても同様で、 は定義域全体で不連続となります。

ではこれをちょっと変えて、


はどうでしょう? が有理数のときに ではなくその分母だけを返す関数です。例えば です。

これも明らかに不連続…と言いたいところですが、なんと有理数では不連続になるのに 無理数では連続 となるのです!

(小さな に対して、 がその範囲内に入るには の刻みを細かくしていけばよく、無理数 の近くでは細かな しか入らないように を小さく取ることができるからです。)

こういう例はイメージするのが難しいですが、「限りなく」のままでは判定不能だったものも 論法を使うことで厳密に連続・不連続が議論できるようになるのです!

いわば は自在に小さくなれる特殊能力を持った「無限小の代理人」で、 はその弟分みたいなものです。「どんな に対しても…」の先は も も「普通の数」として扱うことができるところがポイントです。


( を可愛く感じるように描いてみた)

無限大についても同様

同様に「無限大の代理人」をたてれば、無限大に関する極限も定義できるようになります。例えば:


この場合は が「無限大の代理人」で、いくらでも大きくなれる奴らです。

数列の極限も:


と定義できます(数列は自然数から実数への写像と見れば同じです)

このように「無限小・無限大の代理人」を立てることで極限を「定義」でき、論証においてはそれらを「普通の数」として扱うことができる…これが 論法の本質なのです。

yyumyc3.htmlyyumynl.htmlyyumyg9.htmlyyumyfv.htmlyyumyvy.html 【Shop座椅子ping】IRI-0018 JK−PLAN 家具・インテリア  レトロ調 ロートアイアン家具 アイアン贈り物家具 アイアンワーク おしゃれ かわいい 可愛い机 pcデスク プリンセス ホワイト 白 アンティーク風:ショッピンググルーブyyumyc3.htmlyyumynl.htmlyyumyg9.htmlyyumyfv.htmlyyumyvy.html ジール F-1386 STELTH通信販売 マットブラパズデザインック LO/Si:フィッシングショップ風月堂yyumyc3.htmlyyumynl.htmlyyumyg9.htmlyyumyfv.htmlyyumyvy.html (業務用5セット) エレコプレゼントム(ELECOM) LANケーブルCAT6 50m ホワイトLD-家具GP/WH50/C 【×5セット】:リコメン堂生活館yyumyc3.htmlyyumynl.htmlyyumyg9.htmlyyumyfv.htmlyyumyvy.html 【あす楽】GRIお中元P SWANY グリップスワニー knee boots ニーブーツ GSF-06 / メンズ レディース レインブーツ ラバーブーツ シンプル 梅雨 レイングッズ 野外フェス 夏フェス キャンプ ガーデニング 【ネコポス不可】:PRワークキャップOTOCOLyyumyc3.htmlyyumynl.htmlyyumyg9.htmlyyumyfv.htmlyyumyvy.html (業務用10セット) Canon(キヤノン) 写真用紙 光沢プロ PTショッピング-2お中元01A320 A3 20枚:アルザンス 【送オンラインショッピング料無料】【ゴミ箱 おしゃれ】【2個セット】コンテナスタイルIV 3段【縦型 ふた付き ダストボックス 分別 日本製】東谷 RSD-223【D】:ベッド・寝具・雑貨 B&Bスタイル ★ポイント最大7倍★【送料無料】-US 片袖机 US-NS117DL-3 WM/W4 プラス品番【US-NS117DL-3 WM/W4】 pls669627-【代引き不買い物可商品】【プラス家具】JAN:【文具の月島堂】店

まとめ

なかなか取っつきづらい 論法ですが、慣れれば「人間には扱えない無限の世界」を簡単な手続きで扱えるようにするための方法なんだと納得できると思います。こうして土台がガチッと固まったことで、その先も解析学は実・複素ともに華々しく発展していくのです。

次回もまた何か解析学の基礎の話をしようかなと思います。
それでは、また!

home0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899